Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema fundamental del cálculo

Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.​ Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

El teorema fundamental del cálculo se refiere a la diferenciación e integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconoció que estas dos operaciones estaban relacionadas.

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Ejemplos

Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que la integración corresponde a un proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema Fundamental afirma que ambos procesos son inversos el uno del otro.

Regla de Barrow

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función primitiva de f(x) en [a, b], es decir:

 F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:

La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite calcular integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego calcularla en los límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Regla de la cadena:

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) una función primitiva de f(x) en [a, b],

Sea g(x) una función diferenciable, entonces: 

Técnicas de Integración

Integración por cambio de variable

Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena. Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:

Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).

Integración por partes

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.

Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces: 

u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx: