Para cada fórmula para la derivada de una función hay una fórmula de
antiderivada o integral indefinida correspondiente. Por ejemplo, al interpretar
cada una de las funciones.
Xn(n≠-1), x-1 y cos x
Como una antiderivada, se encuentra que la “Reserva de la derivada”
correspondiente es una familia de antiderivadas:
En la siguiente exposición se analiza la “reversa de la regla de la
cadena”. En este análisis, el concepto de diferencial de una función desempeña
un papel importante. Recuerde que si u = g(x) es una función diferenciable,
entonces su diferencial es:
du = g’(x) dx.
Regla de la sustitución u
Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, f
es una función continua sobre I y F es una antiderivada de f sobre I, entonces
DEMOSTRACIÓN Por la regla
de la cadena,
y entonces por la
definición de antiderivada tenemos
Puesto que F es un
antiderivada de f, es decir, si F¿=f, entonces la línea precedente se vuelve
Uso de la sustitución u La
idea básica consiste en poder reconocer una integral indefinida en una variable
x (como la proporcionada) en que sea la reversa de la regla de la cadena al
convertirla en una integral indefinida diferente en la variable u por medio de
la sustitución u = g(x). Por conveniencia, a continuación se enumeran algunas
directrices para evaluar Sf(g(x)g’(x)dx al efectuar una sustitución u.
Directrices para efectuar
una sustitución u
ii)
Exprese la
integral totalmenteen términos del símbolo u al sustituir u y du por g(x) y g’(x)
dx respectivamente. En su sustitución no debe haber variables x; déjelas en la
integral.
iii)
Efectúe la
integración con respecto a la variable u.
iv)
Finalmente, vuelva
a sustituir g(x) por el símbolo u.
Las fórmulas de integración, En la tabla que se muestra a continuación
se resumen los análogos de la regla de la cadena de las 16 fórmulas de
integración de la tabla anterior.
En otros libros de texto, fórmulas como 3, 10, 11 y 12 en la tabla
suelen escribirse con el diferencial du como numerador:
Pero como a lo largo del
tiempo hemos encontrado que estas últimas fórmulas a menudo se malinterpretan
en un entorno de aula, aquí se prefieren las formas proporcionadas en la tabla.
Integrales
trigonométricas especiales Las
fórmulas de integración que se proporcionan en seguida, que relacionan algunas
funciones trigonométricas con el logaritmo natural, a menudo ocurren en la
práctica, por lo que merecen atención especial:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integracion-por-sustitucion-o-cambio-de-variable.html
https://www.problemasyecuaciones.com/integrales/sustitucion/metodo-integracion-sustitucion-cambio-variable-integrales-resueltas-explicadas.html
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