LONGITUD DE UNA GRAFICA

* Diferencial de longitud de arco

Es también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada del calculo trajo consigo la formula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Se puede encontrar la longitud del arco de una curva con integral que se ve como algo asi:

Los limites de esta integral dependen de como defines la curva

·        Si la curva es la gráfica de una función, y = f(x), se reemplaza el termino dy en la integral con f´(x)dx y luego factorizar el termino dx

·          

Se considera la porción de la curva que esta entre x= -2 Y x=2.

¿Cuál es la longitud del arco de esta curva?

Se puede calcular utilizando un segmento de recta comprendido entre varios puntos dadas por coordenadas en la gráfica, pero sería tedioso, pero se podría calcular la longitud de cada segmento de recta con el teorema de Pitágoras y luego sumar cada una.

La longitud de el segmento de recta comprendido entre (-2,4) y (-1,1)

Consideremos el triángulo siguiente:

El segmento de recta cuya longitud queremos calcular es la hipotenusa. Un cateto es paralelo al eje x y tiene longitud

-1 - (-2) = 1

y el otro es paralelo al eje y y tiene longitud

4 - 1 = 3

Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es raíz de diez.

 Calcular todas sus longitudes y sumarlas sería dolorosamente soporífero, pero hagamos un desglose de cómo se vería. Haz un acercamiento a uno de los pequeños segmentos de recta.

Primero observa el cambio en el valor de x del principio del segmento a su fin; a este valor, llamémosle Δx. Similarmente, digamos que el cambio en el valor de y es Δy. Entonces, por medio del teorema de Pitágoras, podemos escribir la longitud del segmento como: