La función primitiva o antiderivada de una función f es
una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre
un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una
infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2
son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal
que F1 = F2 + C. A C se le
conoce como constante
de integración. Como
consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto
de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral
indefinida de f y se representa como:
El proceso de hallar la
primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto
el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con
las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y
proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas
funciones.
EJEMPLO 1:
Una primitiva de la
función f(x)=cos(x) en R, es la función F(x)=sin(x) ya que:
Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x)
tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) -
100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la
forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de
integración.
EJEMPLO 2:
a) Una antiderivada de es puesto que La antiderivada más general de f(x)
= 2x + 5 es F(x) = x2+5x+C.
b) Una antiderivada de f(x) = sec2 x es F(x) = tan x puesto
que F(x) = sec2 x. La antiderivada más general de f(x) = sec2
x es F(x) = tan x + C.
- Una antiderivada de la derivada de una función es esa función más una
constante.
- La derivada de una antiderivada de una función es esa función.
A partir de lo anterior se concluye que siempre que se obtiene la
derivada de una función, al mismo tiempo se obtiene una fórmula de integración.
De esta manera es posible construir una fórmula de integración a partir
de cada fórmula de derivada. En la Siguiente Tabla se resumen algunas fórmulas
de derivadas importantes para las funciones que se han estudiado hasta el
momento, así como sus fórmulas de integración análogas.
La fórmula de integración en la entrada 1 en la tabla.
Este resultado también puede obtenerse a partir de la fórmula de
integración 2 de la Tabla.
A menudo es necesario volver a escribir el integrado f(x) antes de
realizar la integración.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
INDEFINIDA
Estas propiedades se concluyen de inmediato a partir de las propiedades
de la derivada. Por ejemplo, ii) es una consecuencia del hecho de que la
derivada de una suma es la suma de las derivadas.
Observe en el teorema ii) que no hay razón para usar dos constantes de
integración, puesto que:
Donde C1 ± C2 se ha sustituido por la simple
constante C.
Una integral indefinida de cualquier suma infinita de funciones la
podemos obtener al integrar cada término.
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