La integral definida

La integral definida

Es utilizada para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función.

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

·         Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

·         Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es   menor que cero, su integral es negativa.

·          La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas   por separado.

·          La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante   por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

·          Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

·         Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

·       Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

La integral definida como el límite de una suma de Riemann

La suma se calcula dividiendo la región en formas (rectángulos, trapezoides, parábolas o cúbicas) que juntas forman una región que es similar a la región que se está midiendo, luego calculando el área para cada una de estas formas y, finalmente, agregando todas estas pequeñas áreas juntas. Este enfoque se puede usar para encontrar una aproximación numérica para una integral definida incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita encontrar una solución de forma cerrada.